天籁之音
有一次，我妹妹露西大概4岁的时候，在冰箱里发现了半个包着保鲜膜的柠檬。
“噢，我还从没见过黄色的橙子。”她拿过来准备咬上一口。
作为哥哥，我应该告诉她世界的危险。于是我解释了“黄橙子”不能吃，“你肯定会后悔的”。
可是，露西不信。我只好给她看这个结论是如何得出的。
虽然爸爸警告过我，露西年龄还小，不能观看增强现实视频，可我还是摘下眼镜给露西戴上。
眼镜不太稳当地架在露西的小耳朵和圆鼻子上。我笑起来，她看起来跟卡通形象一样可爱。
现在，视频和文字会幽然叠加在露西视线所及之处，为了看清那些内容，她的瞳孔都在扩大。我已经给她调出《儿童百科全书》，所以知道她转身看着柠檬时，半透明的视频会循环播放一个女孩舔了一片柠檬后被酸得撇嘴皱眉的样子。滚动的字幕显示：柠檬汁含有5%的柠檬酸。“这几乎是橙汁的5倍。”我炫耀着自己的数学水平，“也就是说，柠檬非常酸。”
露西摘下眼镜，毫不迟疑地咬了一口柠檬，她脸上的表情能把人逗死。（当然，最后在父母那儿惹麻烦的还是我。）
对于露西而言，道理永远不及体验。
可我却正好与她相反，所以才念了数学专业。
我跳了几级，提前进入大学。因为害怕比我的同学年龄小太多，大一我就没住在学校，而是住在家里。每天下午，露西和我就坐在餐桌旁，她做作业，我研究我的问题集。
“帮帮我，乔。”一天下午她在桌对面看着我说，“你是我唯一的希望了。”
她头一次做真正的数学证明——每个几何初学者都痛恨的问题，即“欧几里得驴桥定理”，要求学生证明等腰三角形的两个底角相等。
我要来她的眼镜，这样就能看到老师的提示和建议的方法。盯着作业本上的图，老师添加的辅助线若隐若现，三角形的腰被延长，延长的长度BD等于CE。这是欧几里得采用的经典方法。辅助线生成全等三角形，露西可以在证明中使用。
我把眼镜还给她，然后开始解释应该如何一步步严密地解答这个问题。可是露西很快变得不耐烦，在她看来，欧几里得就是一个谨小慎微的傻瓜。
“翻过来就行。”露西打断我说。
“什么？”
“把三角形翻过来。”
她用铅笔重重地划过三角形的轮廓，然后从本子上扯下这页纸，翻过来后，再把已经镜像翻转的三角形跟下一页的划痕叠在一起。
“原来在左侧的角跟三角形划痕右侧的角相同，所以这两个角是相等的。这就是你要的证明。”
我愣了一下，不知道说什么好。她的方法是一种更简练的证明，由亚历山大学派的帕普斯在欧几里得之后约600年提出。想象二维三角形可以被“拿起来”，并在三维空间“翻转”，这种方法过早地使用了现代对称变换，欧几里得会觉得这是投机取巧。
“啊哈。”露西说，“我就知道，没有必要费心琢磨复杂的全等三角形。”
我回过神来：“不能这么证明。希腊数学家曾考虑过你的方法，他们觉得不对。”
“为什么不对？”
“你的证明取决于几何形状的移动，可是以你现在的知识水平， ‘翻转’和‘移动’还没有得到足够充分的定义。你不能把它们当作证明技巧来使用。”
“可这也太说不过去了，你看，我刚刚证明了结论。”
“实际上，你用真实的模型证明没有用，因为数学不是关于模型的，它无关于世界中的任何事物。数学关乎仅存于意识中的逻辑结构。不管怎么样，按照你的想法正确证明，得使用矩阵和线性变换，才能得到从一种状态向另一种状态‘转换’的严格证明。现在你必须得使用全等三角形证明，除非你想让我教你解析几何。”
我给她画出三角形，标出公共边和角，引用恰当的公理和定理，一步一步讲解证明过程，可她一直闷闷不乐。
我喜欢了然于胸的快乐与安宁，每一步证明得出下一步结论，直到最后，全部内容像多米诺骨牌一样排列，你运用逻辑轻轻推动第一块，势必完美引发作为结论的最后一块骨牌倒下。这简直就是柏拉图音乐宇宙[1]的呈现，我对数学的喜爱也正源于此。
露西倒不觉得了不起：“我的证明展示出角度为什么相等，用你的方法太复杂。等我在第三页写下‘证明完毕’时，连要证明什么问题都被我忘了。”
“你只需要练习，过段时间就能够记住，就像直觉一样。暂时忘了翻转图形的方法吧。”
露西不情愿地翻回到图形那一页。“可它确实可以翻转[2]。”她低声嘟囔着说。
在我大学的最后一年，父母要给我和露西植入视觉增强设备作为圣诞礼物。这种东西不仅新潮，还十分昂贵。
“这里，”医生指着颅骨模型上眼眶里的一个地方说，“是我们安装设备的地方。我建议你们使用模块化的支架，更贵，但是以后升级更容易。”
“我怎么更换电池？”这不过是我在无聊地说笑。
“不用。支架上有一个小发电机连接着你的动脉，利用流动的血液发电。视觉增强设备还引出一根细光纤，穿过视神经盘伸入你的眼睛。”我和露西被这个说法吓了一跳，“别担心，你们的视力不会受影响，因为它位于视觉盲点上。有了它，你们的视场才会显示叠加的信息。”
“我们为什么要安装这种设备，而不是非侵入式的增强现实隐形眼镜？”
“隐形眼镜显示器太‘蠢’了，只能根据眼睛的焦点显示信息，无法关联思维。”我能看出医生对我们无知的提问很耐心，“可你们的大脑一直在同眼睛对话，大部分视觉信息来自视觉皮质，而不是被送到那里。视觉增强植入与你的视觉皮质相连接，这样它就能接入眼——脑反馈回路，让你看见自己的想象。这是一种完全不同的体验。”
我点点头，但是没有真正明白他的解释。
“我需要先对你们进行一些测试。”医生说，“下周再打电话通知你们结果。离开时，到前台预约新年后来这儿手术的时间。”
“你好，是乔吗？”
医生的声音舒缓深情，好像要通报什么坏消息。我正出门在外，临时抱佛脚地进行圣诞采购。人群在我周围涌动，我堵住另一只耳朵，努力听清电话里细小的声音。
大约有十分之一的人身体不支持增强视觉植入。他们的身体不停地攻击脑机接口，导致失明和更糟糕的结果发生。问题的原因还不明确，但医疗界一致认为可能是基因所致。似乎某些大脑无法支持硬件升级。
我感到失望，却并没有觉得特别难受。增强视觉植入看起来不过是更花哨一些的增强现实眼镜，而我早就对后者习以为常。它们很流行，也许有些用处，但不是必不可少。
“谢谢。”说完我挂断了电话。
露西跟我一样，也因为基因问题无法拥有增强视觉植入。虽然我对这个结果感到无所谓，可她却把问题看得特别严重，深入地研究没有增强视觉意味着什么。
“看看这个。”她说着，给我放了一段在网上找到的视频。
视频展示了人们如何更有效地利用增强视觉植入。视频的主人公是一位搞研究的化学家，他讲述了增强视觉植入如何帮他开展工作。
“当我读到一篇关于新型蛋白质折叠算法的论文，就在意识里描绘算法如何工作。视觉增强植入将我大脑描绘的图景投射到眼睛里，让我能真正地看见它们。”屏幕分成两半，一边展示出他的增强视觉。一个透明的长分子链模型悬浮在他的视野里，自己折叠缠绕形成了一个结。
“看见投射在我眼睛里的影像，仅仅通过思考，我就能立即作出修改。能够真实地看见算法在我思维中运作，让工作变得更加轻松。这就像是，仅仅依靠思维，我就能很快搭建并操作一个模型。”他眼中增强视觉的图像切换成2个、4个、8个、16个长分子链，在空间里以不同的方式折叠旋转。
“更好的是，视觉增强植入能让我维持多个视觉模型同时工作。没安装植入物时，我最多能在脑海里激活几个思维模型。可是现在，我的大脑仿佛扩展了内存。我可以持续关注更多模型在大脑里同时全速运转。这真正让我觉得自己更聪明了。”
他的兴奋之情溢于言表。他的讲解可能有点夸大，可我觉得能理解他的心情。当我第一次带上增强现实眼镜，也曾惊叹于自己的新能力。仅仅在眼镜上合理设置一下，我就能得到词汇的定义、物品的百科条目、复杂数学问题的即时结果。我感觉一下子就变聪明了。
可是过了一段时间，我认识到那只是一种幻觉。对于信息的即时访问并没有让我真正变得更聪明。眼镜只是一种工具，就好像一台更快更好的计算器。我还是得自己去理解各种概念。
露西又给我看了不少视频：设计师说增强视觉植入让他们更高效、更具原创性地进行设计；医生说植入物协助他们利用自己的直觉和经验本能过滤最新的研究结果；自闭症儿童解释说，视觉增强植入使他们能够理解别人的面部表情和身体语言代表的情感内容，并把它们同自身的情感状态联系起来。
“我觉得我们亏大了。”露西说。
我反驳了她的担心。这些营销视频中描述的心智增强的感觉是一种幻想，我对她说。增强现实技术终究不会替你思考，而真正重要的恰恰就是思考。我的增强现实眼镜让学习、查询和数学中的枯燥工作变得更容易，增强视觉植入可能会更进一步，可类似的工具跟计算尺、计算器一样，对数学家来说并不重要，重要的是在纷繁复杂的抽象概念中剥丝抽茧的能力和数学推理所需的纯粹洞察力。
“我们不会比别人差。”我说。根据基本的原则进行推理，我的逻辑似乎无懈可击。
“露西，我能去你那儿住一段时间吗？”
我闭眼握着电话，希望能得到一根救命稻草。我栖身的公寓一团混乱，满是没有清洗的盘子、装比萨的空包装盒以及扯碎的论文草稿。这篇论文我永远也无法完成了。
我已经扔下春季所有的课程，一个月没有离开过公寓，甚至不确定九月份会回来完成博士学业。
我以往简单明了的生活走到了尽头，一想到父母失望的表情，我就受不了。露西是我唯一的希望。
“没问题。”她的声音沉着舒缓，没问细节，也不用我解释，直接答应了我的请求。“发邮件告诉我你的行程。”
露西从佛罗里达接上我，驾车行驶在通往大沼泽地国家公园的唯一一条9336公路上。虽然才四月，可我觉得天气已经过于炎热潮湿，因为在研究生阶段，我的身体就已经习惯了新英格兰地区的料峭春寒。
露西看上去身体健康、充满活力，她作为初级生物研究员，新工作渐有起色，这让她无比欣慰。感觉到我还需要一段时间才能释放自己，她接过了找话题交谈的任务。她讲述同事的逸闻趣事以及工作的乐趣和挑战。我很感激她不用让我答话。
我的妹妹已经长大成人，现在轮到她来保护我了。
为了让我挑选几张明信片，我们在游客中心停留了一下。从停车场到接待站的短暂路途中，拇指大的蚊子和苍蝇围着我们飞来飞去。庆幸的是，露西给我带了驱虫喷雾。
她总是注重实际，相信能够解决问题的方法。所以，我才在人生危机中向她求助，有她沉着地待在我旁边，我就感觉好多了。
我们周围生长的大克拉莎草一眼望不到尽头，其中偶尔点缀着一棵棵裂榄、橡树、枫树和朴树，仿佛是周围泥灰色的草海中仅仅高出几英寸的一座座小岛。公路上看不见别的车辆，露西踩着油门的脚一直没有松开。坐在副驾驶的位置，我能听见轻微的嘭嘭声不断响起，那是巨型的苍蝇和蚊子撞死在我们突如其来的风挡玻璃上。
除了乌鸦，我看不到别的动物，它们三三两两，零散地站立在公路旁，好像特意在等待什么事情发生。我们经过的时候，它们就转身用目光追随我们，在后视镜中，我看见它们跳到我们身后的马路中间。
“它们在干吗？”
露西看了一眼乌鸦，又朝我灿烂地一笑：“等会儿你就明白了。”
我们停在帕美奥基观景台，站在一片不大的湖泊岸边。20多只鳄鱼心满意足地漂在水里晒太阳，距离我们不超过15米。湖中离岸更远的地方，一群玫瑰琵嘴鹭优雅地浮在水面。起初我以为它们是火烈鸟，直到露西解释说大沼泽地的野生火烈鸟几十年前就已经灭绝。
“仅剩的火烈鸟就是人类草坪上的塑料玩意儿。”她说，“真正的火烈鸟过得不好，可能是因为它们一直没有学会适应人类。”
我们欣赏着美景，直到驱虫喷雾渐渐失效。
我们走回汽车时，我发现三只乌鸦扇着翅膀从引擎盖跳到旁边的地上。其中一只乌鸦的喙上还挂着飞蛾的翅膀，我仔细观察后发现，汽车行驶中在进气栅格和风挡玻璃上积累的昆虫尸体已经被清理干净，乌鸦们把露西的汽车当成了一顿丰盛的自助餐。
“大自然给你洗车。”我说。
露西笑着说：“现在你明白公路上的乌鸦在干什么了吧？”
我想起耐心等在路边的乌鸦在我们经过之后急切地跳到马路中间。
“它们在等待途经车辆撞死的虫子从风挡玻璃上落下来，对不对？”
“你算是明白了，因为园区车辆速度特别快，虫子又特别大。一整天下来，像雨点一样落在马路上的虫子可是不少的蛋白质，所以这里的乌鸦学会了在9336公路上进食。”
我们继续开车前进。因为我知道了乌鸦的目的，所以就更觉得它们不可思议。可是，乌鸦依靠乘车游客悠然过活的态度让我感到有点不安。
我以为大沼泽地充满了真实无瑕的自然之美，可一想到乌鸦像寄生虫一样依靠过往的汽车活着，似乎就让人感到别扭。
“我在研究受人类影响的栖息地。”露西说，“几乎地球上所有的栖息地都包括在内。我们是地球上已知存在的最强进化力量。自然界没有任何角落、任何土地未被人类染指。即使在太平洋中间，也漂浮着我们人类的垃圾构成的岛屿。乌鸦比火烈鸟活得更好，因为它们适应了人类的存在。”
突然之间我感到好笑，不得不转过脸。“怎么了？”露西问。
“我……想到那些死去的火烈鸟。”我咽下一口唾沫，“它们一如既往地生活，周遭的世界突然毫无征兆地改变，然后它们就消失了。这不公平。”
露西把手用力地按在我肩头：“跟我谈谈，乔。”
我整理了一下情绪：“你了解四色定理吗？”
“就是说任何地图只用四种颜色就行，是吗？”
四色定理甚至在不怎么了解数学的人群中都很有名，因为它易于解释和想象出来。可是有很长一段时间，它只是一个猜想。
“直到1976年它才被证明，阿贝尔和哈肯这两位数学家提出一种看似有效的证明，引起了不少争议。”
露西哼了一声：“我猜争议的原因就在于，他们只是说：‘瞧！给我们一张地图，任意一张，我们都能只用四种颜色上色！看见没有？’”
回想起我们做作业的那段时光，我忍不住和她笑起来。
“你说得差不多。他们的证明包含对1476种结构的穷举，可以覆盖所有可能的地图，需要用计算机来执行冗长的细节工作。”
“那么，证明有错吗？”
“没有，独立工作组分别进行检查，没发现任何错误。可它让人觉得不对，证明不应该是让你遍历1476种可能的条目清单，你的大脑看不到整体的模式。这还只是一个开始，从那以后，其他定理的证明也开始依赖计算机来检查成千上万种可能。”
露西耸耸肩膀：“许多学科使用计算机进行计算。没人因为计算机做了繁复的工作，就觉得计算结果不可靠。”
我摇摇头，觉得这让人非常难以释怀，“数学不同于实验科学，我们不研究真实存在的东西。证明不以证据为基础，我们只用逻辑。不理解从基本公理开始的推演，你接受不了结果。定理的要义不仅在于它正确，还在于它为什么正确。因为需要直观领悟真理，所以证明要体现出恰当的美学”。
“我从没觉得数学证明有多美。”
“还记得你认为通过翻转图形来证明比利用全等三角形一步步推导更直观明了吗？跟这个想法一样，我不觉得计算机辅助证明更让人信服。”
“可是为什么只有你对此感到不满？你的整个职业肯定与计算机辅助证明有仇。”
“假如你拥有硬件植入去领悟它们，”我说，“就不会觉得有什么问题了。”
我终于告诉她究竟发生了什么。
去年秋天，我被指派去教一门本科图论课程。一天晚上，我跟学生开了个小玩笑，安排他们验证阿贝尔和哈肯的证明，但是没指望他们有人能理解。我的初衷是引发关于数学直觉极限的讨论。一名学生在办公时间找到我。
“我觉得自己找到了一种简化证明的方法。”他说。
“哦？”我被逗笑了。每年都有几名学生觉得找到了捷径。我不得不通过指出推导过程的错误来让他们失望。
他开始解释，30秒之后，我觉得自己有麻烦了。他清楚自己在谈什么。对于各种结构和相互之间的关系，我花了好几天时间才获得一点模糊的印象，可他谈论起来却清晰明了，仿佛在说自己书架上书籍的分类。我不表态，只是在他暂停解释看向我的时候点点头。
“听起来正确吗？感觉太简单了！我第一次仔细检查证明过程的时候就想到了。等我第二次检查的时候，那些结构更清晰。我能看见它们。”
我点点头，希望他能平静下来。
“你没听明白，是吗？”他停止解释，脸色也随之一沉。我给七年级数学老师热情地解释自己如何推导斯托克斯定理[3]时，也曾流露出同样的表情。她也在我解释的过程中不断点头，不过最后我知道她没有听明白。我头一次知道自己能看清老师看不见的范式。
在我这位学生的太阳穴旁边，是增强视觉植入的银色数据接口。
“我当初错了。”我对露西说，“增强视觉不同于计算器，不仅仅是工具，它们改变了人类视觉思维的能力。拥有增强视觉植入的学生，可以同时进行300种活跃的形象化思维，跟我同时进行两种一样轻松。他们更聪明，也的确能看见我们看不见的思维模式。”
一段时间以来，经过视觉增强的同事一直在发表我难以理解的论文。我不断找借口告诉自己，我对那些课题不感兴趣，或者读他们论文的时候刚好赶上心情不好。可我一直生活在否认之中，我拖拖拉拉在研究生院读了好多年书，一名学生对我的轻视才把我警醒。
数学是我一生所爱，我一直都很擅长。我努力钻研，牺牲睡眠和社交生活，梦想取得了不起的发现，蜚声海内外。
可是随之而来的却是一记重击，有人发明了升级人类大脑的方法，然而体内某些不良基因导致我无法升级。我就应该完全放弃吗？这一切的不公平让我感到暴怒。
“你知道，我一直都很羡慕你。”露西说。
我看着她，怀着自怜的情绪感到大吃一惊。
“你有天才的智商，得到各种奖项和父母的表扬。我知道自己永远无法像你那样聪明、有才和优秀，你能想象生活在你的阴影之下是什么滋味吗？”
“露西，我……”
“不，让我说完。在你的存在掌控一切的家庭里，我不得不自己学会立足。我没法读得跟你一样快，只好小心选择要读的书。我的数学从来都比不上你，于是选择最不需要定量推理的学科。我也一直无法像你一样让老师感到高兴，所以我学着用其他方式获得赞许。
“跟你一起生活，成了对无法得到增强视觉的预演。我喜欢生物学，但清楚自己无法在分子生物学领域同拥有增强视觉植入的人竞争。所以我选择了生态学，一个虽不那么热门，却可以不用担心身体硬件的不足，随心所欲进行研究的领域。
“哥，欢迎你来到现实生活。”
露西说着发动了汽车。天色已晚，我们得赶回她的小房子，“我们都得学着适应变革。你想成为乌鸦还是火烈鸟呢？”
夏天剩下的日子，我跟露西一起在大沼泽地国家公园里度过，她教我用一种全新的方式观察周围的自然界。
我了解到佛罗里达、佐治亚、阿拉巴马和南、北卡罗来纳等州的农场使用的杀虫剂和除草剂，最后全都借由风力或河流，汇集到大沼泽地，园区的物种要么适应要么消亡；我了解到短吻鳄和水禽的数量与公园游客以及遥远居民生产娱乐活动息息相关；我还了解到没有一寸土地能摆脱人类的影响，所有的栖息地都受到人类的侵袭，只是程度有所不同罢了。过去几千年的自然史，不过就是无情的人类在努力把生物圈转变成以人类为中心的共生体系。
露西不觉得这段历史让人绝望，“我们只是一股自然力量，是自然界的一部分，是变革的推动力。每个人都可以从注重实效的乌鸦身上学到点什么”。
每当露西又追踪到人类地球活动的间接后果，她就眼睛一亮、满脸幸福。这让我想起自己每次完成异常困难的证明时体验到的那种快乐，我能看见整个证明过程的美妙之处，从每个逻辑步骤推导出下一个，所有的证明结合起来形成一个和谐的整体。
我曾经以为和谐是一种精神上的状态，脱离尘世之外的存在，仿佛天籁之音。可是正如露西为我展示的，自然界被人类的工作定义、限制、改变和赋予含义。现在我明白了，快乐与和谐的感觉，正确与理解的感觉，都被我的生理特征定义、限制、改变和赋予含义。我只能在可以理解的范围内感受快乐，利用身体可以承受的科技进步来理解世界。我本身就是一个受到人类扰动的栖息地。
我走在两列课桌之间的过道，偶尔停下检查某个学生的作业。他们都是12岁的聪慧少年，我愿意鼓励其中的几个人在秋季学期学习高等微积分。
一个热情好学的孩子劳拉在我经过时叫住了我。
“我做不出来。”
我弯腰检查她的笔记。她用仔细而又密集的笔迹列出每条公理、每个导出结果、每组一致性对。标记的线条相互追随，谨慎而精准，好像铁路上一直延伸的枕木序列。
她该休息一下了。
我拿过她的图，用尺挡在等腰三角形的正中间，将它对折，然后把折好的纸举到灯光下。
“看，”我对她说，“两个角相等。”
“嗯……”她不确定地说。
“证明完毕。”
“哦，”她说，“我明白了。”
她从我手中接过纸，现在明白了哪对角和哪对全等三角形有重要作用。我看着她补充好最后几步证明，所有步骤相互配合，完美而又和谐。
她的太阳穴闪过一丝银光——如今的孩子这么小就拥有增强视觉植入。
虽然我自己不再梦想取得重大的数学发现，但是还要努力向这些孩子展示数学之美，这样他们就能跟我一样感受无与伦比的和谐。也许有一天，他们之中有人会取得我无法领悟的发现，可我知道那发现将蕴含数学之美。
劳拉和我一起欣赏她的证明，然后她转向我，我们相视而笑，一起感受这精妙和谐的宇宙之美。
[1] 音乐宇宙是一种古老的哲学概念，相关“比例”在运动的天体上——如太阳、月亮和行星等——遵从音乐的普遍形式。这种音乐并非通常从字面上理解的声音，而是一个谐波、数学的概念。这个关于音乐的想法持续吸引思想家，直到文艺复兴时期，影响遍及各类学者、人文主义者。
[2] 原文是露西引用天文学家伽利略被要求放弃“日心说”时曾描述地球的一句话——“可它确实在动”。
[3] 斯托克斯定理（Stokestheorem）是将平面或空间区域内部的积分和区域边界上的积分联系起来的一个重要公式。它是微积分基本定理的拓广，随区域维数的不同，有不同的形式。由斯托克斯爵士提出，故名。